Gegee: f(x) = -ax² + bx + 6 4.1 Die gradiënt van die raaklyn aan die grafiek van f by die punt \((-1; \frac{7}{2})\) is 3 - NSC Mathematics - Question 4 - 2017 - Paper 1

Om die $x$-asfinter van $f$ te bereken, stel ons $f(x) = 0$:

$-ax^2 + bx + 6 = 0$

Plaas die waardes van $a$ en $b$ in:
$-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 6 = 0$

Om die $x$-intersepte te vind, kan ons die vergelyking oplos:

$0 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 6$

Skryf dit so dat: $x^2 - 4x - 12 = 0$

Deur faktorisering of die kwadratiese formule te gebruik: $x = 6 \text{ en } -2$
Daarom is die $x$-asfintere van $f$ ((-2; 0)) en ((6; 0)).

Die draaipunt van die funksie f is die plek waar die afgeleide gelyk is aan 0:

$f'(x) = 0$

Dit gewys dat:

$-2ax + b = 0$ $x^* = \frac{b}{2a} = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$

Om die $y$-waarde te kry, plaas $x = 2$ in die oorspronklike funksie:

$f(2) = -a(2)^2 + b(2) + 6 = -\frac{1}{2}(4) + 2(2) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$

Daarom is die draaipunt ((2; 8)).

Die grafiek van $f$ is 'n kwadratiese funksie en sal 'n parabool wees wat na bo oopmaak. Die $y$-intersep is op ((0; 6)) en die $x$-intersepte is op ((-2; 0)) en ((6; 0)). Die draaipunt is op ((2; 8)), wat die hoogste punt van die grafiek is.

Trek 'n parabool wat hierdie punte verbindt, en dui die afsnitte aan.

Kyk na die grafiek en identifiseer die waardes van $x$ waar die grafiek bo die lyn $y = 6$ is. Dit gebeur tussen die twee $x$-waardes waar die parabool terugval na $y = 6$, wat tussen die twee punte moet geskat word, byvoorbeeld, (x < -2) of (x > 2).

Die grafiek $g(x)$ vir die lyn is 'n aflopende lyn wat deur die $y$-as met 'n afsnit by ((0; -1)) gaan en die $x$-as met een plek rond ((-1; 0)).

Verbind hierdie punte om die lyn te teken en dui al die afsnitte aan met die asse.

Vir $f(x)g(x) \leq 0$ is dit die waardes op die $x$-as waar die grafieke van $f$ en $g$ mekaar kruis. Dit sal visuele bevestiging benodig, maar die waardes sal vermoedelik tussen die $x$-waardes van die intersepsies lê, wat as (x < -2) of (x = 2) en tot die intersepsies met die ander lyn gaan.