In die diagram hieronder is P(1 ; 1), Q(0 ; -2) en R die hoeke punte van 'n driehoek en PQR=0 - NSC Mathematics - Question 3 - 2016 - Paper 2

Ons weet dat twee lyn segmente regte hoeke maak as die produk van hulle gradients gelyk is aan -1. So, die gradient van QR is:

$m_{QR} = -1$

Aangesien:

$m_{QP} \cdot m_{QR} = 3 \cdot (-1) = -3$

hier het ons nie 'n regte hoek nie. Ons moet die gradient van die derde lyn (PR) oorweeg om te bewys dit is reg. Gegewe:

$m_{PR} = -\frac{1}{3}$

Die produk van die gradients:

$m_{QP} \cdot m_{QR} = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$

Dus bewys dit dat PQR = 90°.

Hier gebruik ons die vergelyking van die lyn QR:

$x + 3y + 6 = 0$

En substitueer die waarde van y uit $y = -x + 2$. Maakt dit:

$x + 3(-x + 2) + 6 = 0$

Diemis: $x - 3x + 6 + 6 = 0 \\ -2x + 12 = 0 \\ x = 6$

Later substituer ons x waardes terug na die y waarde:

$y = -6 + 2 = -4$

So die koördinate van R is (6, -4).

Die afstand formule tussen twee punte P(1, 1) en R(6, -4) is:

$PR = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Wat lei tot:

$PR = \sqrt{(6 - 1)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Die middelpunt van die sirkel P(1, 1) en R(6, -4) kan bepaal word as:

$M = \left( \frac{1 + 6}{2} , \frac{1 + (-4)}{2} \right) = \left( \frac{7}{2} , -\frac{3}{2} \right)$

Die radius is die afstand van die middelpunt tot een van die punte:

$r = \sqrt{(1 - \frac{7}{2})^2 + (1 + \frac{3}{2})^2} = \sqrt{(\frac{-5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

Die vergelyking van die sirkel is dus:

$\left( x - \frac{7}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{3}{2} \right)^2 = \left( \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)^2$

Die afgeleide van die sirkel se vergelyking gee die gradient van 'n raaklyn. Vir 'n sirkel:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Bepaal die afgeleide en substitueer by P(1,1). Die raaklyn se vergelyking kan verkry word deur die gradient m wat gelyk is aan die negatiewe omgekeerde van die radius se gradient te neem.

Vir θ, moet ons die tangente gebruik. Ons het:

$tan θ = \frac{m_{PQ} - m_{QR}}{1 + m_{PQ} \cdot m_{QR}}$

en substitueer die waardes:

$tan θ = \frac{3 + 1}{1 + 3(-1)} = \frac{4}{-1} = -4$

Dit gee θ as die arctangent waarde wat gegee kan word tussen 0° en 180°.