In die diagram is M(3; -5) die middelpunt van die sirkel met middellyn PN - NSC Mathematics - Question 4 - 2022 - Paper 2

Die sirkelvergelyking kan geskat word deur die middelpunt M(3, -5) en die radius $r=5$ te gebruik:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = r^2$

Dus, ons het:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 5^2$

Dit kan vereenvoudig word tot:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 25$

Om die vergelyking van die lyn KL te vind, moet ons die helling m van die lyn bereken. Die koördinate van die punte K en N is (7, -2) en (x,y) van P.

Die helling m is gegee deur die formule: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ Substitusie gee: $m = \frac{-2 - (-5)}{7-3} = \frac{3}{4}$

Met die helling gekies, kan ons die lynvergelyking formuleren as: $y - y_1 = m(x - x_1)$ Substitusie lei tot: $y + 5 = \frac{3}{4}(x - 3)$.

Om te bepaal waar die lyn die sirkel sny, stel ons die waarde van y in die sirkelvergelyking in.

Substitusie die waarde van $y$ resulteer in 'n kwadratiese vergelyking. Die slegs raaklyne sal wees wanneer die diskriminant $D = 0$.

Dit behoort gegewe te word as 'n kwadratiese vergelyking in die vorm $ax^2 + bx + c = 0$ sodat die waarde van $k$ gekom kan word. Daarby moet ons kyk na die koëffisiënte, spesifiek die diskriminante.

Dielengte van die raakylyn kan aanvanklik gegee word as stelling van die pythagoras. As ons die koördinate A(t, t) en B beredeneer, kan ons $AB^2$ bereken:

$AB^2 = \left((t - 3)^2 + (t + 5)^2\right)$

Deur die vereenvoudiging kan men die algebra byvoeg en met die opsomming kry ons die finale uitdrukking.

$AB = \sqrt{2t^2 + 4t + 9}$

Om die minimum lengte van AB te vind, kan jy die afgeleide van die funksie $AB$ neem en die waarde van t vind waar de afgeleide gelyk aan 0. Dit gebruik die metode van die eerste afgeleide:

$\frac{d(AB)}{dt} = 0$

Die oplossing van die vergelyking sal die minimum waarde lewer van die lengte van AB.