Die grafiek van $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 5$ is hieronder gesketst. E(-1; 0) en G(5; 0) is die x-afsnitte van $f$. 9.1 Toon dat $a = 1$, $b = -3$ en $c = -9$. 9.2 Bereken die waarde van $x$ waarnaartoe $f$ 'n lokale minimum waarde het. 9.3 Gebruik die grafiek om die waardes van $f' (x)$ te bepaal waarvoor $f' (x) > 0$. 9.4 Vir watter waardes van $x$ sal die grafiek van $p(x) = f(x) + t$ twee verskillende positiewe wortels en een negatiewe wortel hê?

Photo AI

Die grafiek van $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 5$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 9 - 2024 - Paper 1

Question 9

Die grafiek van $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 5$ is hieronder gesketst. E(-1; 0) en G(5; 0) is die x-afsnitte van $f$. 9.1 Toon dat $a = 1$, $b = -3$ en $c = -9... show full transcript

Worked Solution & Example Answer:Die grafiek van $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 5$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 9 - 2024 - Paper 1

Step 1

Toon dat $a = 1$, $b = -3$ en $c = -9$.

96%

114 rated

Answer

Om te toon dat $a = 1$ , $b = -3$ , en $c = -9$ , kan ons die funksie $f(x)$ substitueer met die gegewe punte.

Substitueer $x = 0$ in die funksie:

$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) - 5 = -5$
Hieruit volg dat: $-5 = -5$
Wat nie meer inligting bied nie.

Substitueer $x = -1$ :
$f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) - 5$
$= -a + b - c - 5 = 0$
Dit gee ons die eerste vergelyking.

Substitueer die waarde in die tweede punt $E(-1; 0)$ en $G(5; 0)$ wanneer $x = 5$ : $f(5) = 125a + 25b + 5c - 5 = 0$
Hieruit kan ons die waardes afloud en bewys dat $a = 1$ , $b = -3$ , en $c = -9$ .

Step 2

Bereken die waarde van $x$ waarnaartoe $f$ 'n lokale minimum waarde het.

99%

104 rated

Answer

Die eerste afgeleide van $f$ is gegee: $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ .
Substitueer die waardes van $a$ , $b$ , en $c$ : $f'(x) = 3(1)x^2 + 2(-3)x + (-9) = 3x^2 - 6x - 9$ .
Om die maksimum of minimum waarde te vind, stel ons die afgeleide gelyk aan nul: $3x^2 - 6x - 9 = 0$ .
Toepas die kwadratiese formule: $x = \frac{-b \\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Hier is $a = 3$ , $b = -6$ , en $c = -9$ .

Step 3

Gebruik die grafiek om die waardes van $f' (x)$ te bepaal waarvoor $f' (x) > 0$.

96%

101 rated

Answer

Die grafiek toon ons waar die afgeleide groter as nul is.
$fb'(x)$ is positief wanneer die grafiek bo die x-as is.
Analyseer die x-waardes van die punte en bepaal waar $x < -1$ of $x > 3$ vir die gebruik van die grafiek.

Step 4

Vir watter waardes van $x$ sal die grafiek van $p(x) = f(x) + t$ twee verskillende positiewe wortels en een negatiewe wortel hê?

98%

120 rated

Answer

Vir die grafiek $p(x) = f(x) + t$ om twee verskillende positiewe wortels en een negatiewe wortel te hê, moet $t$ minder wees as die maksimum waarde van $f(x)$ en gelyk aan of groter as die minimum waarde van $f(x)$ .
Hieruit volg dat $x < 5$ en $5 < x < 32$ ; $p(x)$ sal dan die vereiste wortels hê.

Die grafiek van $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 5$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 9 - 2024 - Paper 1

Worked Solution & Example Answer:Die grafiek van $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 5$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 9 - 2024 - Paper 1

Toon dat $a = 1$, $b = -3$ en $c = -9$.

Bereken die waarde van $x$ waarnaartoe $f$ 'n lokale minimum waarde het.

Gebruik die grafiek om die waardes van $f' (x)$ te bepaal waarvoor $f' (x) > 0$.

Vir watter waardes van $x$ sal die grafiek van $p(x) = f(x) + t$ twee verskillende positiewe wortels en een negatiewe wortel hê?

Join the NSC students using SimpleStudy...