Die grafiek van $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 9 - 2022 - Paper 1

Om die koördinate van punt $N$ te bepaal, moet ons die afgeleide van die funksie neem en die plekke vind waar dit gelyk is aan nul: $f'(x) = 3x^2 - 2x - 5$.

Stel $f'(x)$ gelyk aan $0$: $3x^2 - 2x - 5 = 0$.

Gebruik die kwadratiese formule: x = rac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, waar $a = 3$, $b = -2$, en $c = -5$. Dit lei tot: $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)}.$

Bereken die Discriminant en los die waardes vir $x$ op. Die koördinate van $N$ kan dan as $\left( \frac{5}{3}, f\left( \frac{5}{3} \right) \right)$ bereken word.

Om te bepaal wanneer $f(x) < 0$, kan ons die x-waardes vind tussen die wortels van die funksie, asook die intervals waarin die funksie negatief is. Dit behels die evaluering van die tekens in die interval $(-\infty; 3)$ en $(3; \infty)$.

Die funksie $f$ is stygend wanneer die afgeleide $f'(x) > 0$. Dit lei tot die evaluering van die afgeleide, waar ons die geldige waardes van $x$ vind.

Dus, dit sal waar wees dat $x < \frac{1}{3}$ en $x > 1$.

Om te bepaal vir watter waardes die funksie konkaf is, moet ons die tweede afgeleide, $f''(x)$, bereken en uitvind waar dit positief is: $f''(x) = 6x - 2.$

Stel $f''(x) > 0$ en los vir die x-waardes.

Om die maksimum vertikale afstand tussen die grafieke van $f$ en $f'$ in die interval van $-1 < x < 0$ te bereken, moet ons die afstand funksie opstel: $d = f(x) - f'(x).$

Vervolgens, los die afgeleide van die afstand op en vind die waarde van $x$ wat die maksimum afstand gee, en bereken die maksimum afstand.