In die diagram hieronder is A (-1 ; 5), B (2 ; 6), C en D die hoekpunte van parallelogram ABCD - NSC Mathematics - Question 3 - 2017 - Paper 2

Punt D lê op die x-as, wat beteken dat die y-koördinaat nul is (y = 0). Ons kan die vergelyking van lyn AD gebruik om die x-koördinaat te vind:

Stel y = 0 in die vergelyking van lyn AD:

$0 = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \\ => -\frac{1}{2}x = -\frac{9}{2} \\ => x = 9$

Die koördinate van D is D(9, 0).

Eerstens, bereken die helling van lyn BC:

Van die vergelyking x + 2y = 14, kan ons y vind:

$$2y = 14 - x \ y = 7 - \frac{x}{2} \$

Die helling van lyn BC is -\frac{1}{2}.

Nou bereken ons die helling van lyn DF:

$m_{DF} = \frac{2 - 0}{10 - 9} = 2$

Twee lynne is loodreg as die produk van hulle hellings -1 is:

toe: $m_{BC} \times m_{DF} = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$

Dus, DF is loodreg op BC.

Die lengte van lyn AD kan bereken word met die afstandsformule:

$$AD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \$

waar A(-1, 5) en D(9, 0):

$AD = \sqrt{(9 - (-1))^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

Die oppervlakte van 'n parallelogram is gegee deur die formule:

$Area = basis \times hoogte$

Hier is die basis die lengte AD, wat is $5\sqrt{5}$ en die hoogte kan bereken word as die afstand van B tot lyn AD. Aangesien die hoogte alreeds as 5 bereken is, is:

$Area = 5\sqrt{5} \times 5 = 25\sqrt{5}$

Die hellings van lyn AB en lyn BC is nodig om die grootte van die hoek tussen hulle te vind. Die helling van AB ($m_{ab}$) is:

$m_{AB} = \frac{6 - 5}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$

En die helling van BC ($m_{BC}$) is -\frac{1}{2}.

Die formule vir die tangens van die hoek is:

tan(\theta) = \frac{m_{BC} - m_{AB}}{1 + m_{BC} m_{AB}}

Stel in:

$tan(\theta) = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + (-\frac{1}{2}) \times \frac{1}{3}}$

Bereken die waarde van θ om die grootte van angle ABC te vind.