Gegee: $g(x) = \frac{1}{x-1} + 2$ 4.1 Skryf die vergelykings van die asymptote van $g$ neer - NSC Mathematics - Question 4 - 2024 - Paper 1

Die grafiek van $g$ sal 'n vertikale asymptoot by $x = 1$ hê. Dit sal 'n horisontale asymptoot by $y = 2$ hê. Die $y$-as snypunt kan bereken word as volg:
Wanneer $x = 0$, is $g(0) = \frac{1}{0-1} + 2 = 1$.
Die $y$-as snypunt is dus $1$.
Die grafiek sal oor die volgende kwadrante beweeg:

1. Van die linker kant van die $x$-as, gaan dit na die horisontale asymptoot.
2. Van die regter kant van die $x$-as, sal dit na die horisontale asymptoot by $y=2$ versneld.

Om te bepaal waaroor $g(x) > 0$, stel ons die ongelykheid op:
( \frac{1}{x-1} + 2 > 0 ).
Hieruit kan ons die volgende aflei:
( \frac{1}{x-1} > -2 ) wat beteken ( x \in (1, \infty) ).
Dan moet ons ook kyk na die snypunt, wat $x = 1/2$ of $x = \frac{1}{2}$ is.
Die waardes waaroor $g(x) > 0$ is dus: ( x > 1/2 ) of ( x \in (1, \infty) ).

Die simmetrie-as kan bereken word deur die middelpunt van die twee asymptote te neem.
Meta dat $y = 2$ (horisontale asymptoot) en $x = 1$ (vertikale asymptoot):
Die vergelyking van die simmetrie-as is dan $y = -x + c$.
Deur die punt van interaksie te gebruik, kan ons die waarde van $c$ bereken.
As ons $x = 1$ en $y = 2$ gebruik, kry ons $c = 3$.
Dus, die vergelyking is $y = -x + 3$.