Die grafiek van $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 9 - 2022 - Paper 1
Question 9
Die grafiek van $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ is hieronder gesketst.
Die x-asfintes van $f$ is by $(3; 0)$ en $M$, waar $M$ op die negatiewe x-as lê.
$K(0; -3)$ is d... show full transcript
Worked Solution & Example Answer:Die grafiek van $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 9 - 2022 - Paper 1
Step 1
Toon dat die vergelyking van $f$ gegee word deur $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$.
96%
114 rated
Only available for registered users.
Sign up now to view full answer, or log in if you already have an account!
Answer
Begin met die oorspronklike funksie f(x)=x3+ax2+bx+c. Aangesien die x-asfinites by (3;0) is, kan ons dit in die vergelyking invul: f(3)=0. Dit lei tot die vergelyking:27+9a+3b+c=0.
Die y-afsnit is K(0;−3), dus f(0)=c=−3. Invul in die vorige vergelyking gee: 27+9a+3b−3=0.
Hieruit kan ons die stelsels van vergelykings opstel en die nodige waardes vir a en b vind. Na substitueer en hertelling, vind ons dat b=−5 en a=−1, wat ons die vergelyking gee: f(x)=x3−x2−5x−3.
Step 2
Bereken die koördinate van $N$.
99%
104 rated
Only available for registered users.
Sign up now to view full answer, or log in if you already have an account!
Answer
Om die koördinaten van N te vind, moet ons die afgeleide f′(x)=3x2−2x−5 bereken en dit gelykstel aan nul: 0=3x2−2x−5. Die oplossings van hierdie kwadratiese vergelyking is: x=31extenx=3−5. Dit lei tot die punte wat ons evalueer om N se koördinate te kry, op x-waardes N(3−5;f(3−5)).
Step 3
Vir watter waardes van $x$ sal $f(x) < 0$?
96%
101 rated
Only available for registered users.
Sign up now to view full answer, or log in if you already have an account!
Answer
Die periode waar f(x)<0 is tussen die kriting van die funksie. Na die berekeninge is dit tussen die intervallens (−∞;3−1) en (31;∞).
Step 4
Vir watter waardes van $x$ sal $f$ stijgend wees?
98%
120 rated
Only available for registered users.
Sign up now to view full answer, or log in if you already have an account!
Answer
Die funksie f is stijgend wanneer f′(x)>0. Dit is geldig wanneer x<31 en x>1. Dus het ons die intervals:(−∞;3−1), (31;∞).
Step 5
Vir watter waardes van $x$ sal $f$ konkav op wees?
97%
117 rated
Only available for registered users.
Sign up now to view full answer, or log in if you already have an account!
Answer
Die funksie is konkav op wanneer die tweede afgeleide positief is. Hier moet ons f′′(x)=6x−2>0 dit lei tot die oplossing x>31.
Step 6
Bepaal die maksimum vertikale afstand tussen die grafieke van $f$ en $f'$ in die interval $-1 < x < 0$.
97%
121 rated
Only available for registered users.
Sign up now to view full answer, or log in if you already have an account!
Answer
Die afstand tussen die grafieke is gegee deur die absolute waarde van die verskil tussen die twee funksies:∣f(x)−f′(x)∣. Bereken die afgeleides en vind die afstand:
∣f(x)−f′(x)∣=∣(x3−x2−5x−3)−(3x2−2x−5)∣
Die maksimum afstand is om te evalueer terwyl die periode −1<x<0 is en ons vind die maksimum afstand is
