Die grafieke van $f(x)=x^2-2x-3$ en $g(x)=mx+c$ is hieronder gesketst - NSC Mathematics - Question 6 - 2024 - Paper 1

Om D en E te bereken, moet ons die x-afsitte van die funksies $f$ en $g$ vind. Begin met $f(x) = 0$:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Gebruik die kwadratiese formule:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Hier is $a=1$, $b=-2$, en $c=-3$:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$

Dit gee $x = 3$ of $x = -1$.

Dus, die coördinaten van D is $(3; 0)$ en van E is $(-1; 0)$.

Die funksie $g$ is 'n lyn en kan gegee word as $g(x) = mx + c$. Ons weet dat dit deur die punt E gaan, dus kan ons die vorm $g(x) = m(x + 1)$ sien. Om $m$ te vind, gebruik die punt P wat op $f$ is. Met P(0; -3), kan ons $-3 = m(0 + 1)$ bereken. Dit gee $m = -3$. Dus, die vergelyking van $g$ is:

$g(x) = -3(x + 1) = -3x - 3.$

Om die waardes van $x$ te bepaal waar $f(x) - g(x) > 0$, moet ons die ongelykheid oplos:

$x^2 - 2x - 3 - (-3x - 3) > 0$

Simplifiseer dit:

$x^2 + x > 0$

Factoreer:

$x(x + 1) > 0$

Die oplossings is $x < -1$ of $x > 0$.

Die maksimum vertikale afstand tussen die grafieke is gegee deur:

$D = |h(x) - g(x)| = |(x^2 - 2x - 3) - (-3x - 3)|$

Simplifiseer:

$D = |x^2 + x|.$

Oplos dit verder vir die interval $x ext{ e } [-2; 3]$ en vind die maksimum waardes. Dit kan ondersoek word deur die afgeleide te neem en die kritieke punte te vind.

As $k(x)$ 'n raaklyn aan $f$ is, dan moet die afgeleide $f'(x)$ op die raaklyn gelyk wees aan die helling van $g(x)$ by die raakpunt. Vind die helling:

$f'(x) = 2x - 2.$

Gebruik die punt P(0; -3) om te bereken:

$-3 = k(0) - n = -3 - n,$
Dus, $n = 0$.

Die waarde van $n$ is $n = 2.25$ as die raaklyn die funksie raak.