Photo AI
Die figuur hierbo toon die ontwerp van 'n teaterverhoog in die vorm van 'n halfsirkel met 'n reghoek daaraan vas - NSC Mathematics - Question 10 - 2017 - Paper 1
Question 10
Die figuur hierbo toon die ontwerp van 'n teaterverhoog in die vorm van 'n halfsirkel met 'n reghoek daaraan vas. Die halfsirkel se radius is $r$ en die reghoek se b... show full transcript
Worked Solution & Example Answer:Die figuur hierbo toon die ontwerp van 'n teaterverhoog in die vorm van 'n halfsirkel met 'n reghoek daaraan vas - NSC Mathematics - Question 10 - 2017 - Paper 1
Step 1
Bepaal 'n uitdrukking vir $b$ in terme van $r$.
Answer
Gegewe dat die omtrek van die verhoog 60 m is, kan ons die volgende vergelyking opstel:
60 = 2b + 2r + rac{1}{2}(2 ext{π}r)
Hierdie vergelyking sluit die breedte en die radius van die halfsirkel in. Om in terme van te bepaal, kan ons die vergelyking herorganiseer:
- Begin met die oorspronklike vergelyking:
- Groepeer die terme:
- Deel deur 2 om te isolate: b = rac{60 - 2r - ext{π}r}{2}
Hierdie uitdrukking gee ons in terme van .
Step 2
Vir watter waarde van $r$ sal die oppervlak van die verhoog 'n maksimum wees?
Answer
Die totale oppervlakte van die verhoog is die som van die oppervlakte van die reghoek en die半円:
A(r) = b imes h + rac{1}{2}( ext{area of circle})
Hierdie kan geskryf word as:
A(r) = (30 - rac{1}{2} ext{π}r) imes r + rac{1}{2}( ext{π}r^2)
Die oppervlak moet geoptimaliseer word. Om die maksimum te vind, neem ons die afgeleide van en stel dit gelyk aan nul:
Dit leid tot die vergelyking:
60 - (4 + rac{1}{2} ext{π})r = 0
Los dit op vir :
r = rac{60}{4 + rac{1}{2} ext{π}}
Hierdie waarde van sal die maksimum oppervlakte van die verhoog gee, en na berekening is dit ongeveer 8.40 m.