Gegewe: $f(x) = \frac{-1}{x-1}$ 5.1 Skryf die definitieversameling van $f$ neer - NSC Mathematics - Question 5 - 2018 - Paper 1

Die funksie het 'n verterlike asimptoot by $x = 1$ en 'n horisontale asimptoot by $y = 0$.

Die grafiek van die funksie $f(x)$ vertoon 'n vertikale asimptoot by $x = 1$. Dit kruis die y-as by $y = 0$ wanneer $x < 1$ en benader die horisontale asimptoot teen $y = 0$ wanneer $x \rightarrow \pm \infty$. Die grafiek sal twee takke hê: een aan die linkerkant van die vertikale asimptoot wat van die vierde kwadrant na die oorsprong beweeg en die ander in die eerste kwadrant wat van die oorsprong na die derde kwadrant beweeg.

Om hierdie vraag te beantwoord, moet ons eerstens die afgeleide van die funksie bereken.

Die afgeleide van $f(x)$ is:
$f'(x) = \frac{1}{(x-1)^{2}}$.

Daarom is $x f'(x) = x \cdot \frac{1}{(x-1)^{2}}$. Hierdie produk is positief wanneer:

1. $x > 0$ en $x \neq 1$, wat beteken dat $x f'(x) \geq 0$ wanneer $x \in (0,1) \cup (1,\infty)$.
2. As $x < 0$, dan is die produk negatief, dus onbruikbaar.

Die finale antwoord is: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.