Die grafieke van $f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 8$ en $g(x) = -\frac{d}{x}$ is hieronder geskets - NSC Mathematics - Question 5 - 2023 - Paper 1

Die y-afsnit $C$ kan gevind word deur $x = 0$ in $f$ in te vul:

$f(0) = \frac{1}{2}(0 - 1)^2 + 8 = \frac{1}{2} + 8 = \frac{17}{2}$

Dus is die koördinate van $C$ ($0; \frac{17}{2}$).

Die waarde van $d$ kan bepaal word deur $g(x)$ te stel gelyk aan ses. Ons het $g(x) = -\frac{d}{x}$. As ons die waarde van $g$ vir $x = 1$ bereken:

$g(1) = -\frac{d}{1} = -d$

As ons weet $g(1) = -2$, dan:

$-d = -2 \Rightarrow d = 2$

Die waardeversameling van $g$ is $g: R \setminus \{0\}$, waar $g(x)$ vir alle $x$ in die reële getalle gedefinieer is, behalwe $x=0$.

Die produk $f(x) \cdot g(x)$ sal negatief of nul wees wanneer $f(x)$ en $g(x)$ van tekens verskil of een van hulle is nul.

Hierdie analise moet die nul punte van beide funksies omvat. $f(x) = 0$ het nie reële oplossings in hierdie geval nie. Aangesien $g(x)$ negatief is by $x > 0$, sal $f(x) \cdot g(x) \leq 0$ vir $x \in [0; 5]$ geld, aangesien dit die intervall is waar $f(x)$ positief is.

Om te verseker dat daar geen snypunte is nie, moet ons verseker dat die parabola $g(x)$ altyd bo die lyn $h(x)$. Met die standaardvorm.

$-2x + k \geq –\frac{8}{x}$

Nadat ons die twee funksies gelykstel, kan ons die waardes van $k$ vind:

$\Delta < 0$

Dit lei tot die ongelykheid: $-8 < k < 8$.

Hierdie waarde kan bereken word deur die y-waarde van die raaklyn en die waarde van die funksie $g$ te gebruik:

As $R(2; 4)$ is, dan $f(2) = \frac{15}{2}$.

Om $t$ te vind:

$h(2) = f(2) + t \Rightarrow \frac{15}{2} + t = g(2)$

Op los van $t$ vind ons die waarde dat die raaklyn $h$ gelyk is aan $g$.