In die diagram hieronder is $A \cap B$ die $x$-afsintige van die grafiek van $f(x)=x^2-2x-3$ - NSC Mathematics - Question 6 - 2018 - Paper 1

Die waardes van $x$ vir die snypunt van $f$ en $g$ kan gevind word deur die twee vergelykings gelyk te stel: $x^2 - 2x - 3 = x + 1$ Hieruit kry ons: $x^2 - 3x - 4 = 0$

Om die koördinate van $A$ en $B$ te bepaal, los ons hierdie kwadratiese vergelyking op: $(x - 4)(x + 1) = 0$ Dit gee ons die oplossings: $x = 4 \; en \; x = -1$

Dus is die koördinate van die snypunte $A(4;5)$ en $B(-1;0)$.

Die funksie $f(x) = x^2 - 2x - 3$ is 'n parabool wat op die $x$-as oopswaarts oopmaak. Die toppunt kan gevind word deur die formule: $x = -\frac{b}{2a}$ As $a = 1$ en $b = -2$ dan: $x = -\frac{-2}{2(1)} = 1$

Nou, substitusie in die oorspronklike funksie: $f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$

Daarom is die waardeverzameling van $f$: $[-4; \infty)$

Substitusie om $MN = 6$ te kry beteken dat die vertikale afstand van punt $M$ tot die $x$-as van $OT$ moet wees: $|f(x_M) - 0| = 6$

Hieruit volg dat: $|(x_M^2 - 2x_M - 3) - 0| = 6$

Plaas $T$ op die negatiewe $x$-as: $y_M = x_M^2 - 2x_M - 3$. Oplossing van die vergelyking lei tot: $OT = 2$

As $N$ die punt is waar $g$ die $x$-as sny by $x = -2$, dan is:$N(-2; 1)$

Vir die waardes wat nie sny nie, moet die kwadratiese vergelyking: $x^2 - 2x - 3 - k = 0$

te sê dat die diskriminant negatief is thus $b^2 - 4ac < 0$. Hier() $(-2)^2 - 4(1)(-3-k) < 0$

Daarom: $4 + 12 + 4k < 0 \Rightarrow 4k < -16 \Rightarrow k < -4$

So sal die regressiewe waardes $k < -4$ wees.