Gegee: sinA = 2p en cosA = p 5.1 Bepaal die waarde van tan A - NSC Mathematics - Question 5 - 2017 - Paper 2

In die periode [180°, 270°], is sin A negatief en cos A ook negatief:

dus:
$sin A = 2p$
$cos A = p$

Die p-waarde kan bepaal word deur te skryf:

$\sqrt{(sin A)^2 + (cos A)^2} = 1$

Dus, $(2p)^2 + p^2 = 1$
$4p^2 + p^2 = 1$
$5p^2 = 1$
$p^2 = \frac{1}{5}$
$p = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Om die algemene oplossing vir die kwadratiese vergelyking te vind, hanteer ons die vraestel as:

$2sin²x - 5sinx + 2 = 0 \implies A = 2, B = -5, C = 2$.

Die oplossingsformule is:

$sin x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

Vervang B en A:

$sin x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}$

$sin x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

$sin x = \frac{5 \pm 3}{4}$

So, die moontlike waardes is $sin x = 2$ (geen oplossing) en $sin x = \frac{1}{2}$.

Daarom, die waarde van x sal wees:

$x = 30° + k \cdot 360° ext{ of } x = 150° + k \cdot 360°; k \in \mathbb{Z}$

Gebruik die formule:

$sin(a + b) = sin a \cdot cos b + cos a \cdot sin b$.

Hier is a = x en b = 300°:

$sin(x + 300°) = sin x \cdot cos 300° + cos x \cdot sin 300°$

Waar:

$cos 300° = \frac{1}{2}, \; sin 300° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dus,

$sin(x + 300°) = sin x \cdot \frac{1}{2} - cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Hier is:

$sin(x + 300°) = sin x \cdot \frac{1}{2} - cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

En gebruik:

$cos(x - 150°) = cos x \cdot cos 150° + sin x \cdot sin 150°$

Hier is:

$cos 150° = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \; sin 150° = \frac{1}{2}$

Dus ons het:

$-cos(x - 150°) = -cos x \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} + sin x \cdot \frac{1}{2}$

Die finale resultaat is:

$sin(x + 300°) - cos(x - 150°) = (sin x \cdot \frac{1}{2} - cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - (-cos x \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} + sin x \cdot \frac{1}{2})$

Begin met:

$LHS = tan x + 1 = \frac{sin x}{cos x} + 1$

$= \frac{sin x + cos x}{cos x}$

Nou doen ons:

$RHS = \frac{sin x + cos x}{sin x tan x + cos x}$

Deur die identiteit te herlei en te vereenvoudig:

$= \frac{sin x + cos x}{\frac{sin^2 x}{cos x} + cos x}$

Dit gee die finale resultaat:

$= LHS = \frac{sin x + cos x}{1}$

Begin met die sagteware:

$(\sqrt{1 + k})^2 = (sin x + cos x)^2$

Waardes wil wees:

$1 + k = sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x$

Gee:

$1 + k = 1 + 2sin x cos x$

Hieruit kan ons kry:

$k = 2sin x cos x$.

Die maksimum waarde is:

$sin x + cos x = \\sqrt{1 + k}$

Die grootste waarde van sin x + cos x = \\sqrt{2}$$ when x is at 45° $.