In die diagram hieronder is P(-7; 4) 'n punt in die Kartesiese vlak - NSC Mathematics - Question 5 - 2022 - Paper 2

Die tangens van θ kan bereken word met die verhouding:

tan(θ) = rac{opp}{adj} = rac{4}{-7}

Daarom is die waarde van tan(θ) = -rac{4}{7}.

Ons kan die kosinus van die aangewese hoek bereken met die identiteitsformule:

$cos(θ - 180°) = -cos(θ)$

Hierdie waarde kan gevind word deur:

cos(θ) = rac{adj}{hyp} = rac{-7}{√65}

Dus, cos(θ - 180°) = -rac{-7}{√65} = rac{7}{√65}.

Hierdie vergelyking kan herschryf word as:

$sin x · cos x + sin x - 3 · cos x^2 - 3 · cos x = 0$

Hierdie kan dan gegroupeer word:

$sin x (cos x + 1) - 3(cos x^2 + cos x) = 0.$

Hierna kan ons die faktorisering toepas:

1. $sin x = 0$ of $cos x + 1 = 0$
2. $3(cos x^2 + cos x) = 0$.

Die algemene oplossings vir x word dan gegee as $x = n·180°$ of $x = 180° + k·360°$.

Om hierdie identiteit te bewys, ondersoek ons die linkerhandse kant:

LHS = rac{sin 3x}{1 - cos 3x}

Deur te vermenigvuldig met die waarde van $1$:

LHS = rac{sin 3x (1 + cos 3x)}{(1 - cos 3x)(1 + cos 3x)}

Na vereenvoudiging kom ons by die regskant $RHS$:

$RHS = 1 + cos 3x.$

Die identiteit is nie gedefinieer wanneer:

1. $sin 3x = 0$, wat impliseer $3x = n·180°$ of $x = 0°, 20°, 60°$.
2. $1 - cos 3x = 0$, wat impliseer $3x = 0°$ of $x = 0°, 60°$.

Die geldige waardes vir x in die gegewe interval is dus $x = 0°$ en $x = 60°$.