In die diagram is die grafieke van $ f(x) = 2 ext{sin}(2x) $ en $ g(x) = - ext{cos}(x + 45^{ ext{o}}) $ vir die interval $ x ext{ e } [0^{ ext{o}}; 180^{ ext{o}}] $ gesketst - NSC Mathematics - Question 6 - 2023 - Paper 2

Om die waardeverzameling van $g(x) = - ext{cos}(x + 45^{ ext{o}})$ te bepaal, moet ons die maksimum en minimum waardes vind. Gegewe dat $ext{cos}$ waardes tussen -1 en 1 wissel, is die waardeverzameling van $g$:

$g(x) ext{ e } [-1; 1] \ ext{ dus } g(x) ext{ e } [-1; 2]$.

Die produk $f(x) \times g(x) > 0$ wanneer albei funksies positiewe of negatiewe waardes het. Dit kan geanaliseer word deur die tekens van $f$ en $g$ te bepaal in die interval $[0^{ ext{o}}; 180^{ ext{o}}]$.

• $f(x) > 0$ wanneer $x ext{ e } [0^{ ext{o}}; 90^{ ext{o}}]$.
• $g(x) > 0$ wanneer $x + 45^{ ext{o}} ext{ e } [90^{ ext{o}}; 270^{ ext{o}}]$, of $x ext{ e } [45^{ ext{o}}; 225^{ ext{o}}]$.

Dus, $x ext{ e } [45^{ ext{o}}; 90^{ ext{o}}]$.

Om te bepaal wanneer $f(x) + 1 > 0$, evalueer ons die uitdrukking:

$2 ext{sin}(2x) + 1 > 0 \ 2 ext{sin}(2x) > -1 \ ext{sin}(2x) > -0.5$

Hieruit volg dat $2x ext{ e } [30^{ ext{o}}; 150^{ ext{o}}]$ en $210^{ ext{o}}; 330^{ ext{o}}$.

Dus, $x ext{ e } [15^{ ext{o}}; 75^{ ext{o}}]$ of $[105^{ ext{o}}; 165^{ ext{o}}]$.

Gegewe dat $p(x) = -f(x)$, moet ons die punte waar dit gelyk is aan $-1$ bepaal. Dit beteken $f(x) = 1$.

$2 ext{sin}(2x) = 1 \ ext{sin}(2x) = 0.5 \ 2x = 30^{ ext{o}} ext{ or } 150^{ ext{o}} \ x = 15^{ ext{o}} ext{ or } 75^{ ext{o}}$.

Laastens, om $g(45^{ ext{o}})$ in links te vertaal, sal ons die buitenste term in die funksie verhef met 45 graad:

$h(x) = - ext{cos}(x + 90^{ ext{o}}) \ h(x) = ext{sin}(x)$.