Die diagram hieronder toon \( \triangle DEF \) met hoekpuntke D(−4; 8), E(4;−4) en F(−2;−8) - NSC Technical Mathematics - Question 1 - 2023 - Paper 2

Die tangens van die hoek ( \alpha ) kan bereken word met die gradient:

$\tan(\alpha) = |m|$

Hier is ( m = -\frac{3}{2} ), so:

$\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$

Daarom is:

$\alpha = \tan^{-1}(\frac{3}{2}) \approx 56.31^\circ$

So die grootte van die hoek ( \alpha ) is ongeveer ( 56.31^\circ ).

Die lyn wat ewewydig aan DE is, het die selfde gradient. Dit beteken sy gradient is ook ( -\frac{3}{2} ).

Die vergelyking van die lyn wat deur F(−2;−8) gaan kan geskryf word as:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Substituerend:

$y - (-8) = -\frac{3}{2}(x - (-2))$

As ons die vergelyking oplos, kan ons die y-waarde bereken:

$y + 8 = -\frac{3}{2}(x + 2)$ $y = -\frac{3}{2}x - 3 - 8$ $y = -\frac{3}{2}x - 11$

Nou, substitueer ( x = -10 ):

$y = -\frac{3}{2}(-10) - 11 = 15 - 11 = 4$

Dus, die punt (−10; 5) kom nie op die lyn nie.

Die oppervlakte van 'n driehoek kan bereken word met die formule:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

Waar ( b ) die basis en ( h ) die hoogte is. Ons kan die afstand tussen die punte D en E as die basis neem, en die hoogte kan bereken word as die y-waarde van D (8) minus die y-waarde van E (−4):

Die lengte van DE:

$b = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{8^2 + (-12)^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} \approx 14.42$

Die hoogte:

$h = 8 - (-4) = 12$

Dus,

$A = \frac{1}{2} \cdot 14.42 \cdot 12 \approx 86.52$

Die oppervlakte van ( \triangle DEF ) is ongeveer ( 86.52 ).