'n Houer bestaan uit 'n regte silindriese deel en 'n hemisferiese deel aan die bokant, soos in die prent en diagram hieronder getoon - NSC Technical Mathematics - Question 8 - 2019 - Paper 1

Die totale volume $V$ van die houer is die som van die volume van die silinder en die volume van die hemisfeer:

$V = ext{Volume van silinder} + ext{Volume van sfeer}$

Hier is:

• Volume van die silinder = $ext{π}x^2(66 - 2x)$
• Volume van die hemisfeer = rac{2}{3} ext{π}x^3

Dus: V = ext{π}x^2(66 - 2x) + rac{2}{3} ext{π}x^3

Na vereenvoudiging: V = 66 ext{π}x^2 - 2 ext{π}x^3 + rac{2}{3} ext{π}x^3 V = 66 ext{π}x^2 - rac{4}{3} ext{π}x^3 V = 66x^2 - rac{7}{3} ext{π}x^3

Om die maksimum waarde van $V$ te vind, neem die afgeleide van $V$: rac{dV}{dx} = 66 ext{π}(2x) - rac{7}{3} ext{π}(3x^2) = 0

Dit lei tot die vergelyking: $0 = 66 ext{π} imes 2x - 7 ext{π} x^2$

Na eenvoudiger berekening: $x(132 - 7x) = 0$

Hieruit verkry ons: x = 0 ext{ of } x = rac{132}{7}

Die maksimum totale volume kan bereken word deur die waarde van x = rac{132}{7} in die volume formule te substitueren:

V = 66 ext{π} imes rac{132}{7}^2 - rac{7}{3} ext{π} imes rac{132}{7}^3

Na die berekening:

ightarrow ext{approximately } 24,576.74 ext{ cm}^3 ext{ or } 7823.02 ext{ } ext{π}$$