3.1 Vereenvoudig die volgende sonder om 'n sakrekenaar te gebruik: 3.1.1 $\log_a a^{2}$ 3.1.2 $\sqrt{5x(\sqrt{45x + 2 + \sqrt{80x}})}$ 3.1.3 $\left( \frac{4^{x-2}}{2^{2x-3}} \right) \times 8$ 3.2 Los op vir $x$: $\log(2x - 5) + \log 2 = 1$ 3.3 Gege die kompleks getal: $z = 2 + 2i$ 3.3.1 In watter kwadrant van die kompleks vlak $z$? 3.3.2 Bepaal die waarde van die modulus van $z$ - NSC Technical Mathematics - Question 3 - 2023 - Paper 1

Eerstens, herlei die binome.

• $\sqrt{5x(\sqrt{45x + 2 + \sqrt{80x}})}$
  = $\sqrt{5x(\sqrt{9 \cdot 5x + 2 + 4 \cdot 5x})}$

deur die komponenten te verenig kom ons op die finale waarde:

= $\sqrt{5x(\sqrt{(9 + 4) \cdot 5x + 2})}$ = $\sqrt{5x(\sqrt{13 \cdot 5x + 2})}$.

Die uitdrukking kan vereenvoudig word:

• $4^{x-2} = (2^2)^{x-2} = 2^{2x-4}$
• Die noemer is $2^{2x-3}$.

Hierdie lei tot:
$\frac{2^{2x-4}}{2^{2x-3}} \times 8 = 2^{(2x-4)-(2x-3)} \times 8 = 2^{-1} \times 8 = 4.$

Om vir $x$ op te los, saamvoeg die logaritmes: $\log(2x - 5) + \log 2 = \log(2(2x - 5)) = 1$
$2(2x - 5) = 10$ $\Rightarrow 2x - 5 = 5$ $\Rightarrow 2x = 10$ $\Rightarrow x = 5.$

Aangesien die real en imaginaire dele beide positief is ($z = 2 + 2i$), is dit in die eerste kwadrant.

Die modulus van $z$ kan bereken word: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$

Die polêre vorm van $z$ is:
$z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$
waar $r = 2\sqrt{2}$ en $\theta = 45°$.
Dus, $z = 2\sqrt{2}(\cos 45° + i\sin 45°)$.

Skryf die stelsels van vergelykings:

• $x - 3y = 6$
• $-3y = 9i$
• Die oplossingen is: $y = -3i$ en substitusie bied $x = 6 - 3(-3i) = 6 + 9i$.