Gegee: $$f(x) = -x(x-3)(x-3)$$ 7.1 Skryf die koordinate van die x-afsnitte van $f$ neer - NSC Technical Mathematics - Question 7 - 2018 - Paper 1

Om die y-afsnit te vind, stel ons $x = 0$ in die funksie $f(x)$:

$f(0) = -0(0-3)(0-3) = 0$
Die y-afsnit is dus die koordinate $(0, 0)$.

Om te toon dat $f(x) = -x(x-3)(x-3)$ is gelyk aan $-x^3 + 6x^2 - 9x$, breek ons die faktorisering uit:

$f(x) = -x[(x-3)^2] = -x[x^2 - 6x + 9]$

Deur hierdie uitdrukking uit te brei, kry ons:

$f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$

Dus is die stelling waar.

Om die draaipunte te vind, neem ons die afgeleide $f'(x)$ van $f$:

$f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x$

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9$

Stel $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 12x - 9 = 0$

Hieronder kan ons die kwadratiese formule toepas om die x-waardes te vind:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{(12)^2 - 4(-3)(-9)}}{2(-3)}$

Hierdeur vind ons die draaipunte op die x-waardes. (Bereken dit en kry die koordinate in die finale antwoord).

Die grafiek van $f$ sal 'n kubiese vorm hê, met die x-afsnitte op $(0, 0)$ en $(3, 0)$. Die y-afsnit is ook op $(0, 0)$ te sien. Draaipunte kan op die grafiek gemerk word nadat die koordinate bereken is, en dit moet duidelik van die x- en y-as afsonderlik aangedui word.

Die grafiek van $f$ is toenemend waar die afgeleide $f'(x) > 0$ is. Ons moet die x-waardes tussen die berekende draaipunte, wat uit die vorige stap verkry is, bepaal.

$f'(x) > 0$ dui op intervallskeiding, wat normaalweg sal wees in die interval $(1, 3)$.