Gegee 'n funksie gedefinieer deur $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 3x - 10 = -(x-2)(x^2-4x-5)$ 7.1 Skryf die koördinate van die y-afsnit van $f$ neer - NSC Technical Mathematics - Question 7 - 2023 - Paper 1

Om te toon dat $(x + 1)$ 'n faktor van $f$ is, moet ons $f(-1)$ bereken:

$$\begin{align*} f(-1) & = -(-1)^3 + 6(-1)^2 - 3(-1) - 10 \\ & = 1 + 6 + 3 - 10 \\ & = 0. \end{align*}$$

Aangesien $f(-1) = 0$, is $(x + 1)$ inderdaad 'n faktor van $f$.

Die $x$-afsnitte kan bereken word deur die faktorisering van $f$ te gebruik:

$$(x - 2)(x + 1)(x - 5) = 0.$$

Die $x$-afsnitte is dus $x = 2$, $x = -1$ en $x = 5$.

Die draaipunte van die funksie bestaan waar die afgeleide gelyk is aan nul. Bereken die afgeleide $f'(x)$:

$$f'(x) = -3x^2 + 12x - 3.$$

Stel die afgeleide gelyk aan nul:

$$-3(x^2 - 4x + 1) = 0.$$

Die oplossing van hierdie vergelyking gee die draaipunte: $x ext{ het waarde } x = 3 ext{ en } x = 1$.

Bereken die koördinate:

$$f(3) = (3, 39) \\ f(1) = (-10) \\$$

Dus, die draaipunte is (3, 39) en (1, -10).

Die grafiek van $f$ het die volgende eienskappe:

• y-afsnit: (0, -10)
• $x$-afsnitte: (2, 0), (-1, 0), (5, 0)
• Draaipunte: (1, -10), (3, 39)

Die grafiek moet 'n kubiese vorm hê, met stygende en dalende areas.

[Schets die grafiek in die ruimte op die antwoordblad.]

Kyk na die grafiek van $f$ en identifiseer die gebiede waar die afgeleide positief is (opwaartse helling):

Hierdie waardes van $x$ sal in die intervalle tussen die $x$-afsnitte wees, spesifiek: $x$ in $(0, 2)$ behoort aan die oplossing.

Daarom is die finale antwoord: $x ext{ behoort tot } (0, 2)$.