Photo AI
Die prent en die diagram hieronder toon 'n regte keëlvormige (kegelvormige) magnet - NSC Technical Mathematics - Question 8 - 2023 - Paper 1
Question 8
Die prent en die diagram hieronder toon 'n regte keëlvormige (kegelvormige) magnet. Die afmetings van die regte keëlvormige (kegelvormige) magnet is soos volg: radi... show full transcript
Worked Solution & Example Answer:Die prent en die diagram hieronder toon 'n regte keëlvormige (kegelvormige) magnet - NSC Technical Mathematics - Question 8 - 2023 - Paper 1
Step 1
8.1 Druk die radius (r) van die keël (kegel) in terme van sy hoogte (h) uit.
Answer
Om die radius (r) in terme van die hoogte (h) uit te druk, kan ons die Pythagorese stel gebruik. Die skuinhoogte (l) van die kegel is 3 cm, terwyl die hoogte (h) en radius (r) die regte hoeke vorm:
[ l^2 = r^2 + h^2 ]
Die skuinhoogte is gegee as 3 cm, so:
[ 3^2 = r^2 + h^2 ] [ 9 = r^2 + h^2 ]
Hieruit volg het ons: [ r^2 = 9 - h^2 ] [ r = \sqrt{9 - h^2} ]
Step 2
8.2 Toon vervolgens dat die volume (V) van die keël (kegel) as \( V(h) = \frac{1}{3} \pi h^3 \) uitgedruk kan word.
Answer
Die volume (V) van die kegel kan gegee word deur die formule: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
Hier kan ons die waarde van r in terme van h insit: [ V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{9 - h^2})^2 h ] [ = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h ] [ = \frac{1}{3} \pi (9h - h^3) ]
Dit bewys dat die volume as ( V(h) = \frac{1}{3} \pi h^3 ) uitgedruk kan word.
Step 3
8.3 Bepaal die numeriese waarde van \( h \) waaronder die volume van die keël (kegel) 'n maksimum sal wees.
Answer
Om die maksimum waarde van die volume V te bepaal, neem ons die afgeleide van V(h):
[ V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{1}{3} \pi (9h - h^3) \right) ] [ = \frac{1}{3} \pi (9 - 3h^2) ]
Stel die afgeleide gelyk aan nul om die kritieke punte te vind: [ \frac{1}{3} \pi (9 - 3h^2) = 0 ] [ 9 - 3h^2 = 0 ] [ 3h^2 = 9 ] [ h^2 = 3 ] [ h = \sqrt{3} \text{ of } h \geq 1.73 \text{cm} ]