Polígonos (ENEM Matemática): Notas de revisão

Geometria Plana - Polígonos

O que é um Polígono?

Um polígono é uma figura geométrica plana formada por uma linha fechada e simples, construída apenas com segmentos de reta. Os pontos onde esses segmentos se encontram são chamados de vértices, e os próprios segmentos são os lados do polígono.

Classificação por Convexidade

Polígono Convexo

Um polígono é convexo quando qualquer segmento de reta que conecta dois pontos no interior do polígono permanece completamente dentro da figura.

Polígono Côncavo

Um polígono é côncavo quando é possível encontrar dois pontos no interior da figura de modo que o segmento que os conecta passe pelo exterior do polígono.

Classificação por Número de Lados

O nome de um polígono depende da quantidade de lados que ele possui:

• 3 lados → Triângulo
• 4 lados → Quadrilátero
• 5 lados → Pentágono
• 6 lados → Hexágono
• 7 lados → Heptágono
• 8 lados → Octógono
• 9 lados → Eneágono
• 10 lados → Decágono
• 11 lados → Undecágono
• 12 lados → Dodecágono

Número de Diagonais de um Polígono

Para calcular quantas diagonais possui um polígono de n lados, utilizamos a fórmula:

$d = \frac{n(n-3)}{2}$

Esta fórmula funciona porque:

• De cada vértice partem $(n-3)$ diagonais
• Como temos $n$ vértices, teríamos $n(n-3)$ diagonais
• Dividimos por 2 porque cada diagonal é contada duas vezes

Soma dos Ângulos Internos

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono de n lados é dada pela fórmula:

$S_i = (n-2) \times 180°$

Esta fórmula surge do fato de que podemos dividir qualquer polígono convexo em $(n-2)$ triângulos, e cada triângulo tem soma de ângulos internos igual a 180°.

Soma dos Ângulos Externos

Uma propriedade interessante é que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre constante:

$S_e = 360°$

Tipos Especiais de Polígonos

Polígono Equiângulo

Um polígono é equiângulo quando todos os seus ângulos internos são iguais entre si.

Polígono Equilátero

Um polígono é equilátero quando todos os seus lados têm a mesma medida.

Polígono Regular

Um polígono é regular quando é simultaneamente equiângulo e equilátero, ou seja, possui todos os lados iguais e todos os ângulos iguais.

Propriedades dos Polígonos Regulares

Medidas dos Ângulos

Em um polígono regular de n lados:

• Ângulo interno: $a_i = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$
• Ângulo externo: $a_e = \frac{360°}{n}$

Circunferência

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, com todos os vértices tocando o círculo.

Diagonais que Passam pelo Centro

Em polígonos regulares com número par de lados, algumas diagonais passam pelo centro da figura. O número dessas diagonais é dado por:

• $\frac{n}{2}$ quando $n$ é par