Análise combinatória: permutação com repetição, circular e combinações completas Notas de revisão para ENEM Matemática

Análise Combinatória: Permutação com Repetição, Circular e Combinações Completas

1. Permutações com Repetições

O que são?

Quando temos n elementos e alguns deles são idênticos, precisamos de uma fórmula especial para calcular quantos arranjos diferentes podemos fazer. Isso acontece porque elementos iguais não criam novos arranjos quando trocam de posição.

infoNote

A diferença fundamental das permutações simples é que aqui temos elementos repetidos, o que reduz o número total de arranjos possíveis, já que trocar elementos idênticos de posição não gera um novo arranjo.

Fórmula

Para n elementos totais, sendo n₁ elementos iguais de um tipo, n₂ elementos iguais de outro tipo, etc.:

$P^{(n_1,n_2,...,n_k)}_n = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}$

chatImportant

Lembre-se: Sempre divida pelo fatorial de cada grupo de elementos repetidos. Quanto mais repetições, menor será o resultado final.

lightbulbExample

Trabalhando com Anagramas: PALAVRA

Problema: Quantos anagramas da palavra PALAVRA podem ser formados?

Passo 1: Conte os elementos

Total de letras: 7
Letra A aparece 3 vezes
Letra L aparece 2 vezes
Outras letras (P, V, R) aparecem 1 vez cada

Passo 2: Aplique a fórmula $P^{(3,2,1,1,1)}_7 = \frac{7!}{3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{5040}{6 \times 2} = 420$

Resposta: 420 anagramas diferentes

2. Permutações Circulares

O que são?

Quando os elementos estão dispostos em forma circular, algumas posições que pareciam diferentes se tornam iguais através de rotação. Por isso, o número de arranjos é menor.

infoNote

Em arranjos circulares, fixamos uma pessoa ou objeto como ponto de referência para evitar contar as mesmas disposições que diferem apenas por rotação.

Fórmula

Para n objetos em disposição circular:

$PC_n = (n - 1)!$

lightbulbExample

Mesa de Buraco: Arranjando Jogadores

Problema: De quantos modos podemos formar uma mesa de buraco (jogo de cartas) com 4 jogadores?

Passo 1: Entenda a situação

Em uma mesa circular, precisamos fixar uma pessoa como referência
As outras 3 pessoas podem se arranjar de diferentes formas ao redor

Passo 2: Aplique a fórmula $PC_4 = (4 - 1)! = 3! = 6$

Resposta: 6 maneiras diferentes

3. Combinações com Repetição (Combinações Completas)

O que são?

Também chamadas de combinações completas, são seleções onde:

Podemos repetir elementos
A ordem não importa
Escolhemos p objetos de n tipos diferentes

Fórmula

$CR_{(n,p)} = C_{(n+p-1,p)}$

Que pode ser escrita como:

$CR_{(n,p)} = \frac{(n+p-1)!}{p! \times (n-1)!}$

chatImportant

Conceito-chave: Transformamos o problema de combinação com repetição em uma combinação simples usando a fórmula $C_{(n+p-1,p)}$ .

lightbulbExample

Comprando Sorvetes: Escolhas com Repetição

Problema: Uma pessoa quer comprar 10 sorvetes numa sorveteria que tem 4 sabores (abacaxi, banana, creme e damasco). De quantas maneiras diferentes essa compra pode ser feita?

Passo 1: Identifique os parâmetros

n = 4 (tipos de sabores)
p = 10 (sorvetes a comprar)
Podemos repetir sabores
A ordem não importa

Passo 2: Transforme em combinação simples $CR_{(4,10)} = C_{(4+10-1,10)} = C_{(13,10)} = C_{(13,3)}$

Passo 3: Calcule $CR_{(4,10)} = \frac{13!}{10! \times 3!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$

Resposta: 286 maneiras diferentes

Quando Usar Cada Tipo?

Tipo	Quando Usar	Características
Permutação com Repetição	Arranjar elementos com alguns iguais	Ordem importa, elementos repetidos
Permutação Circular	Arranjar em círculo	Ordem importa, posição circular
Combinação Completa	Selecionar com repetição permitida	Ordem não importa, repetição permitida

bookmarkSummary

Pontos Essenciais para Dominar o Assunto:

Permutação com repetição: Divida pelo fatorial dos elementos repetidos
Permutação circular: Use $(n-1)!$ porque fixamos uma posição como referência
Combinação completa: Transforme em combinação simples somando $(n+p-1)$
Sempre identifique: A ordem importa? Há repetições? É disposição circular?
Pratique bastante: Cada tipo tem suas particularidades que ficam claras com exercícios

Análise combinatória: permutação com repetição, circular e combinações completas (ENEM Matemática): Notas de revisão