Trigonometria: adição e subtração de arcos Notas de revisão para ENEM Matemática

Trigonometria: Adição e Subtração de Arcos

Introdução às Transformações Trigonométricas

O círculo trigonométrico é fundamental para compreender as operações com arcos. Quando trabalhamos com a adição e subtração de arcos, utilizamos as coordenadas de pontos no círculo para desenvolver fórmulas que nos permitem calcular as razões trigonométricas de qualquer ângulo.

infoNote

No plano de coordenadas cartesianas, um ponto no círculo trigonométrico de raio unitário pode ser representado pelas coordenadas $(\\cos \\alpha, \\sen \\alpha)$ , onde $\\alpha$ é o ângulo medido a partir do eixo positivo das abscissas.

Adição de Arcos

Seno da Soma: $\\sen(\\alpha + \\beta)$

Para desenvolver a fórmula do seno da soma, consideramos dois arcos $\\alpha$ e $\\beta$ no primeiro quadrante. Através da análise geométrica no círculo trigonométrico, obtemos:

chatImportant

Fórmula Fundamental - Seno da Soma:

$\\sen(\\alpha + \\beta) = \\sen \\alpha \\cdot \\cos \\beta + \\sen \\beta \\cdot \\cos \\alpha$

Esta fórmula nos permite calcular o seno de qualquer soma de ângulos conhecendo as razões trigonométricas dos ângulos individuais.

Cosseno da Soma: $\\cos(\\alpha + \\beta)$

Quando estudamos triângulos retângulos no círculo trigonométrico, descobrimos que os arcos complementares têm uma relação especial. Para encontrar o cosseno da soma, utilizamos a fórmula:

chatImportant

Fórmula Fundamental - Cosseno da Soma:

$\\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos \\alpha \\cdot \\cos \\beta - \\sen \\alpha \\cdot \\sen \\beta$

Tangente da Soma: $\\tg(\\alpha + \\beta)$

A tangente da soma é obtida dividindo o seno da soma pelo cosseno da soma. Após simplificações algébricas, chegamos à fórmula:

chatImportant

Fórmula Fundamental - Tangente da Soma:

$\\tg(\\alpha + \\beta) = \\frac{\\tg \\alpha + \\tg \\beta}{1 - \\tg \\alpha \\cdot \\tg \\beta}$

infoNote

Esta relação é válida para valores de $\\alpha$ , $\\beta$ e $\\alpha + \\beta$ que pertencem ao domínio da função tangente.

Subtração de Arcos

Seno da Diferença: $\\sen(\\alpha - \\beta)$

Para obter a fórmula do seno da diferença, utilizamos o fato de que subtrair um ângulo é equivalente a somar seu oposto. Assim:

chatImportant

Fórmula Fundamental - Seno da Diferença:

$\\sen(\\alpha - \\beta) = \\sen \\alpha \\cdot \\cos \\beta - \\sen \\beta \\cdot \\cos \\alpha$

Cosseno da Diferença: $\\cos(\\alpha - \\beta)$

O processo para desenvolver a fórmula do cosseno da diferença é semelhante ao usado para a adição. Obtemos:

chatImportant

Fórmula Fundamental - Cosseno da Diferença:

$\\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos \\alpha \\cdot \\cos \\beta + \\sen \\alpha \\cdot \\sen \\beta$

Tangente da Diferença: $\\tg(\\alpha - \\beta)$

Para a tangente da diferença, reescrevemos $\\tg(-\\beta) = -\\tg \\beta$ e aplicamos a fórmula conhecida das tangentes:

chatImportant

Fórmula Fundamental - Tangente da Diferença:

$\\tg(\\alpha - \\beta) = \\frac{\\tg \\alpha - \\tg \\beta}{1 + \\tg \\alpha \\cdot \\tg \\beta}$

Exercícios Resolvidos

lightbulbExample

Exemplo 1: Calcular $\\sen 75°$

Observamos que $75° = 30° + 45°$ , então podemos aplicar a fórmula da soma:

$\\sen 75° = \\sen(30° + 45°) = \\sen 30° \\cdot \\cos 45° + \\sen 45° \\cdot \\cos 30°$

Substituindo os valores conhecidos: $\\sen 75° = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}$

$\\sen 75° = \\frac{\\sqrt{2} + \\sqrt{6}}{4}$

lightbulbExample

Exemplo 2: Calcular $\\sen 15°$

Notamos que $15° = 45° - 30°$ , aplicando a fórmula da diferença:

$\\sen 15° = \\sen(45° - 30°) = \\sen 45° \\cdot \\cos 30° - \\sen 30° \\cdot \\cos 45°$

Substituindo os valores: $\\sen 15° = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}$

$\\sen 15° = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}$

lightbulbExample

Exemplo 3: Calcular $\\cos 135°$

Reconhecemos que $135° = 90° + 45°$ , então:

$\\cos 135° = \\cos(90° + 45°) = \\cos 90° \\cdot \\cos 45° - \\sen 90° \\cdot \\sen 45°$

Substituindo os valores: $\\cos 135° = 0 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} - 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}$

$\\cos 135° = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$

Observações Especiais

Casos de Arco Duplo

infoNote

Arco Duplo: Quando $\\alpha = \\beta$ , as fórmulas se tornam casos especiais conhecidos como fórmulas do arco duplo:

$\\sen(2\\alpha) = 2 \\cdot \\sen \\alpha \\cdot \\cos \\alpha$
$\\cos(2\\alpha) = \\cos^2 \\alpha - \\sen^2 \\alpha$
$\\tg(2\\alpha) = \\frac{2\\tg \\alpha}{1 - \\tg^2 \\alpha}$

Simplificação de Expressões

chatImportant

Dica Importante: Nem sempre é necessário usar as fórmulas completas. Para expressões como $\\cos(180° - x)$ , podemos usar diretamente que $\\cos(180° - x) = -\\cos x$ , aplicando a relação de quadrantes.

Fórmulas do Meio Arco

infoNote

Utilizando a identidade $\\sen^2(x/2) + \\cos^2(x/2) = 1$ e as relações trigonométricas, podemos derivar:

$\\tg\\left(\\frac{x}{2}\\right) = \\frac{\\sen x}{1 + \\cos x} = \\frac{1 - \\cos x}{\\sen x}$

bookmarkSummary

Resumo das Fórmulas Principais:

Adição de Arcos:

$\\sen(\\alpha + \\beta) = \\sen \\alpha \\cdot \\cos \\beta + \\sen \\beta \\cdot \\cos \\alpha$
$\\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos \\alpha \\cdot \\cos \\beta - \\sen \\alpha \\cdot \\sen \\beta$
$\\tg(\\alpha + \\beta) = \\frac{\\tg \\alpha + \\tg \\beta}{1 - \\tg \\alpha \\cdot \\tg \\beta}$

Subtração de Arcos:

$\\sen(\\alpha - \\beta) = \\sen \\alpha \\cdot \\cos \\beta - \\sen \\beta \\cdot \\cos \\alpha$
$\\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos \\alpha \\cdot \\cos \\beta + \\sen \\alpha \\cdot \\sen \\beta$
$\\tg(\\alpha - \\beta) = \\frac{\\tg \\alpha - \\tg \\beta}{1 + \\tg \\alpha \\cdot \\tg \\beta}$

Auxiliares de Memória:

Seno da soma: $\\sen \\alpha \\cdot \\cos \\beta$ MAIS $\\sen \\beta \\cdot \\cos \\alpha$
Cosseno da soma: $\\cos \\alpha \\cdot \\cos \\beta$ MENOS $\\sen \\alpha \\cdot \\sen \\beta$
Tangente da soma: $(\\tg \\alpha + \\tg \\beta)$ dividido por $(1 - \\tg \\alpha \\cdot \\tg \\beta)$
Para subtração: troque os sinais das fórmulas de adição adequadamente
Arco duplo é um caso especial quando os dois ângulos são iguais

Trigonometria: adição e subtração de arcos (ENEM Matemática): Notas de revisão