Círculos e circunferências (ENEM Matemática): Notas de revisão

Círculos e Circunferências - Guia de Revisão ENEM

Introdução

Conceitos Fundamentais

Circunferência é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão à mesma distância (chamada raio) de um ponto fixo denominado centro.

Círculo é o conjunto de todos os pontos que estão no interior de uma circunferência, incluindo a própria circunferência.

Elementos de uma Circunferência

Elementos Básicos

• Centro (O): ponto fixo que define a circunferência
• Raio (r): distância do centro até qualquer ponto da circunferência
• Diâmetro: segmento que passa pelo centro e liga dois pontos da circunferência (diâmetro = $2 \times \text{raio}$)
• Corda: segmento que conecta dois pontos da circunferência
• Arco: parte da circunferência entre dois pontos

Regiões Importantes

• Setor circular: região delimitada por dois raios e um arco
• Segmento circular: região entre uma corda e o arco correspondente
• Semicircunferência: metade da circunferência

Posições de Retas Relativamente à Circunferência

Três Situações Possíveis

Reta Secante $(d < r)$: intercepta a circunferência em dois pontos distintos

Reta Tangente $(d = r)$: toca a circunferência em exatamente um ponto

Reta Externa $(d > r)$: não possui pontos em comum com a circunferência

Teoremas Fundamentais

Teorema das Tangentes

Quando duas tangentes partem de um ponto externo à circunferência, os segmentos tangentes possuem o mesmo comprimento: $PA = PB$

Teorema de Pitot (Quadrilátero Circunscritível)

Em um quadrilátero que circunscreve uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados.

Ângulos na Circunferência

Ângulo Central

É o ângulo que tem vértice no centro da circunferência. Sua medida é igual ao arco que ele determina.

Fórmula: $\beta = \text{arco } AB$

Ângulo Inscrito

É o ângulo que tem vértice na circunferência e seus lados são secantes à ela. Sua medida é a metade do arco correspondente.

Fórmula: $\alpha = \frac{\text{arco } AB}{2}$

Ângulo de Segmento

Similar ao ângulo inscrito, mas um lado é secante e o outro é tangente à circunferência.

Fórmula: $\alpha = \frac{\text{arco } AB}{2}$

Ângulo Excêntrico Interior

Formado por duas secantes que se cruzam no interior da circunferência.

Fórmula: $\alpha = \frac{\text{arco } AB + \text{arco } CD}{2}$

Ângulo Excêntrico Exterior

Formado por duas secantes que se cruzam no exterior da circunferência.

Fórmula: $\alpha = \frac{\text{arco } AB - \text{arco } CD}{2}$

Quadrilátero Inscritível

Relações Métricas na Circunferência

Caso 1: Duas cordas se intersectam internamente

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Caso 2: Dois segmentos secantes partem de um ponto externo

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Caso 3: Um segmento secante e outro tangente partem do mesmo ponto

$PT^2 = PA \cdot PB$

Comprimento da Circunferência

Para qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é constante e igual a π (pi ≈ 3,14159).

Fórmulas:

• $C = 2\pi R$
• $C = D \cdot \pi$

onde $C$ = comprimento, $R$ = raio, $D$ = diâmetro

Comprimento de um Arco

O comprimento de um arco é proporcional ao ângulo central correspondente.

Fórmula (ângulo em graus): $l = \frac{2\pi R \cdot \theta}{360°}$

Fórmula (ângulo em radianos): $l = R \cdot \theta$

Radianos (RAD)

Radiano é uma unidade de medida angular. Um radiano é o ângulo central que determina um arco de comprimento igual ao raio.

Medida Angular de uma Volta Completa

• Em graus: $360°$
• Em radianos: $2\pi \text{ rad}$