Determinantes (ENEM Matemática): Notas de revisão

Determinantes

O que são Determinantes?

Um determinante é um número especial que se associa a uma matriz quadrada. Ele nos fornece informações importantes sobre a matriz, como se ela possui inversa ou não.

Determinante de uma Matriz 2x2

Para uma matriz 2x2, o cálculo do determinante é bem direto:

Fórmula:

$\det A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Determinante de uma Matriz 3x3

Para matrizes 3x3, utilizamos principalmente dois métodos:

Regra de Sarrus

Este é o método mais visual e prático para matrizes 3x3:

1. Reescreva as duas primeiras colunas ao lado da matriz
2. Calcule os produtos das diagonais principais (da esquerda para direita) - estes são positivos
3. Calcule os produtos das diagonais secundárias (da direita para esquerda) - estes são negativos
4. Some todos os produtos positivos e subtraia todos os negativos

Fórmula geral:

$\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} + a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} + a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33})$

Regra do Cofator

Uma alternativa à Regra de Sarrus é expandir o determinante usando cofatores:

• Escolha uma linha ou coluna (preferencialmente com zeros)
• Para cada elemento, calcule seu cofator
• O cofator $A_{ij} = (-1)^{i+j} \times$ determinante da matriz menor
• Some todos os produtos: elemento × seu cofator

Exemplo:

$\det A = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13}$

Propriedades Importantes dos Determinantes

1. Troca de Linhas ou Colunas

• Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição, o sinal do determinante muda

2. Multiplicação por uma Constante

• Se multiplicarmos uma linha ou coluna por $k$, o determinante fica multiplicado por k
• Se multiplicarmos toda a matriz por $k$, o determinante fica multiplicado por $k^n$ (onde $n$ é a ordem da matriz)

3. Matriz Transposta

• O determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original: $\det(A^T) = \det(A)$

4. Linhas ou Colunas Especiais

• Se uma linha ou coluna for toda zero, o determinante é zero
• Se duas linhas ou colunas forem iguais ou proporcionais, o determinante é zero

5. Produto de Matrizes (Teorema de Binet)

• $\det(AB) = \det(A) \times \det(B)$

6. Matriz Inversa

• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

Exemplo Prático Completo

2   1   3  | 2   1
1  -2   4  | 1  -2  
3   0  -1  | 3   0