Sólidos inscritos e circunscritos (ENEM Matemática): Notas de revisão

Geometria Espacial - Sólidos Inscritos e Circunscritos

Introdução

A geometria espacial nos apresenta situações onde um sólido se relaciona com outro de forma especial. Quando estudamos sólidos inscritos e circunscritos, estamos explorando como diferentes formas geométricas podem se encaixar umas dentro das outras ou se envolver mutuamente de maneira perfeita.

Cilindro e Prisma

Cilindro Circunscrito a um Prisma

Quando um cilindro circular reto está circunscrito a um prisma regular, observamos que:

• O raio da base do cilindro coincide com o raio da circunferência que circunscreve a base do prisma
• O raio da base do cilindro também é igual ao apótema da base do prisma

Prisma Regular Inscrito em um Cilindro

No caso inverso, quando um prisma regular está inscrito em um cilindro circular reto:

• O raio da base do cilindro é igual ao raio da circunferência que circunscreve a base do prisma
• A geratriz do cone coincide com o apótema da pirâmide

Pirâmide e Cone

Pirâmide Regular Inscrita em um Cone

Quando uma pirâmide regular está inscrita num cone circular reto:

• O raio da base do cone coincide com o raio da circunferência que circunscreve a base da pirâmide

Cone Circular Reto Inscrito numa Pirâmide Regular

Na situação inversa:

• O raio da base do cone é igual ao apótema da base da pirâmide
• A geratriz do cone coincide com o apótema da pirâmide

Esfera e Cubo

Esfera Inscrita em um Cubo

Quando uma esfera está inscrita em um cubo, o diâmetro da esfera possui a mesma medida da aresta do cubo.

Fórmula importante: $2r = a$

Esfera Circunscrita ao Cubo

Quando uma esfera está circunscrita ao cubo, seu diâmetro possui mesma medida da diagonal do cubo.

Fórmula importante: $2R = a\sqrt{3}$

Esfera e Cilindro

Esfera Inscrita em um Cilindro Circular Reto

Quando uma esfera se encontra inscrita em um cilindro circular reto:

• A altura desse cilindro deve ser o diâmetro da esfera
• O raio da base do cilindro possui mesma medida que o raio da esfera

Esfera Circunscrita a um Cilindro Circular Reto

Para esta configuração:

• O diâmetro da esfera é a diagonal da seção meridiana do cilindro

Relacionamento importante:

• $R_{\text{esfera}} = R_{\text{cilindro}} = R$
• $R_{\text{cilindro}} = 2 \cdot R_{\text{esfera}} = 2R$

Esfera e Cone

Esfera Inscrita em um Cone

Quando uma esfera se encontra inscrita em um cone, temos uma configuração triangular na seção meridiana do cone.

Relacionamento geométrico importante:

Considerando a seção meridiana, onde:

• $A$ é o vértice do cone
• $O$ é o centro da esfera de raio $r$
• $B$ é o centro da base do cone de raio $R$
• $C$ é a interseção da geratriz com a esfera

Configuração Geométrica

Na seção meridiana de um cone com esfera inscrita:

• O triângulo retângulo $VV'A$ possui altura relativa à hipotenusa com medida igual ao raio $r$ da base do cone
• As projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa possuem medida $h = 2R - h$
• Pelas relações métricas: $r^2 = h(2R - h)$