Inequações exponenciais e logarítmicas (ENEM Matemática): Notas de revisão

Exemplo de trabalho 1: Resolva $2^{x-3} > 4^{x+1}$

Solução: Como a base é $2 > 1$, mantemos o sinal da desigualdade.

Passo 1: Expressamos tudo na mesma base:

• $2^{x-3} > (2^2)^{x+1}$
• $2^{x-3} > 2^{2x+2}$

Passo 2: Como as bases são iguais e maiores que 1: $x - 3 > 2x + 2$ $-3 - 2 > 2x - x$ $-5 > x$ $x < -5$

Exemplo de trabalho 2: Resolva $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3} \geq \left(\frac{1}{4}\right)^x$

Solução: A base é $\frac{1}{2}$, que está entre 0 e 1, então invertemos a desigualdade.

Passo 1: Expressando na mesma base:

• $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3} \geq \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^x$
• $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3} \geq \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$

Passo 2: Como $0 < \frac{1}{2} < 1$, invertemos: $2x - 3 \leq 2x$ $-3 \leq 0 \text{ (sempre verdadeiro)}$

Portanto, a solução inclui todos os números reais onde a inequação está definida.

Exemplo de trabalho 3: $3^{x-1} - 3^x + 3^{x+1} \leq 21$

Solução: Passo 1: Fatoramos usando $3^x$ como termo comum: $3^x(3^{-1} + 1 + 3^1) \leq 21$ $3^x\left(\frac{1}{3} + 1 + 3\right) \leq 21$ $3^x\left(\frac{13}{3}\right) \leq 21$ $3^x \leq \frac{63}{13}$ $3^x \leq \frac{9}{2}$

Passo 2: Como $3^x \leq \frac{9}{2}$ e $3^2 = 9$: $x \leq 2$

Exemplo de trabalho 4: Técnica de Substituição: $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 < 0$

Solução: Passo 1: Fazemos a substituição $y = 2^x$: $(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 < 0$ $y^2 - 6y + 8 < 0$

Passo 2: Fatorando: $(y - 2)(y - 4) < 0$

Passo 3: Isso significa $2 < y < 4$, ou seja: $2 < 2^x < 4$ $2^1 < 2^x < 2^2$ $1 < x < 2$

Exemplo de trabalho 1: Resolva $\log_5(2 - 5x) \leq 1$

Solução: Passo 1: Verificamos as condições de existência: $2 - 5x > 0$ $-5x > -2$ $x < \frac{2}{5}$

Passo 2: Resolvemos a inequação: $\log_5(2 - 5x) \leq \log_5 5$

Como a base $5 > 1$, mantemos o sinal: $2 - 5x \leq 5$ $-5x \leq 3$ $x \geq -\frac{3}{5}$

Passo 3: Combinando com a condição de existência: $-\frac{3}{5} \leq x < \frac{2}{5}$

Exemplo de trabalho 2: Resolva $\log_{1/8}(x^2 + 3) > 0$

Solução: Passo 1: Condições de existência: $x^2 + 3 > 0 \text{ (sempre verdadeiro, pois } x^2 \geq 0\text{)}$

Passo 2: Resolvendo: $\log_{1/8}(x^2 + 3) > \log_{1/8} 1$

Como $0 < \frac{1}{8} < 1$, invertemos: $x^2 + 3 < 1$ $x^2 < -2$

Como não existe número real que satisfaça $x^2 < -2$, a solução é o conjunto vazio.

Exemplo de trabalho Avançado: $\log_{10}(x^2 - x - \frac{3}{4}) \cdot 2 - \log_{10} 5$

Este tipo de exercício requer:

1. Determinação das condições de existência
2. Simplificação usando propriedades dos logaritmos
3. Análise de intervalos
4. Representação gráfica da solução

A solução final é expressa como um intervalo que satisfaz tanto as condições de existência quanto a desigualdade original.