Progressão geométrica: somas Notas de revisão para ENEM Matemática

Progressão Geométrica: Somas

Introdução

infoNote

Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (q). Quando precisamos calcular a soma dos termos de uma P.G., usamos fórmulas específicas que dependem de se a progressão é finita ou infinita.

Soma dos Termos de uma P.G. Finita

Fórmula Principal

Para calcular a soma dos primeiros n termos de uma P.G. com primeiro termo $a_1$ e razão $q \neq 1$ :

$S_n = a_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Como Chegamos a Esta Fórmula

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Demonstração Passo a Passo da Fórmula

Passo 1: Começamos com a soma $S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$

Passo 2: Substituindo cada termo Como cada termo é $a_1 \times q^{(\text{posição}-1)}$ , temos: $S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{n-1}$

Passo 3: Multiplicamos toda a equação por q $q \times S_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots + a_1q^n$

Passo 4: Subtraímos a primeira equação da segunda $q \times S_n - S_n = a_1q^n - a_1$

Passo 5: Fatoramos e isolamos $S_n$ $S_n(q - 1) = a_1(q^n - 1)$

Portanto: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Caso Especial: P.G. Constante

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Quando q = 1, todos os termos são iguais ao primeiro termo. Neste caso: $S_n = n \times a_1$

Esta é uma situação especial porque a fórmula principal não funciona quando $q = 1$ (divisão por zero).

Exemplos Práticos

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Exemplo 1: P.G. Crescente

Calcular a soma dos 12 primeiros termos da P.G. {1, 2, 4, ...}

Dados:

$a_1 = 1$
$q = 2$
$n = 12$

Solução: $S_{12} = 1 \times \frac{2^{12} - 1}{2 - 1} = \frac{4096 - 1}{1} = \textbf{4095}$

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Exemplo 2: P.G. Constante

Calcular a soma dos 10 primeiros termos da sequência {3, 3, 3, ...}

Dados:

$a_1 = 3$
$q = 1$ (constante)
$n = 10$

Solução: $S_{10} = 10 \times 3 = \textbf{30}$

Soma dos Termos de uma P.G. Infinita

Condição de Convergência

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Condição Fundamental para Convergência

Uma P.G. infinita só terá soma finita quando -1 < q < 1 (ou seja, $|q| < 1$ ).

Se $|q| \geq 1$ , a soma não converge e não tem valour finito.

Fórmula para P.G. Infinita

$S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q}$

Demonstração da Fórmula Infinita

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Demonstração: Fórmula da P.G. Infinita

Passo 1: Escrevemos a soma infinita $S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots$

Passo 2: Multiplicamos por q $q \times S = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 + \ldots$

Passo 3: Subtraímos as equações $S - q \times S = a_1$

Passo 4: Fatoramos e resolvemos $S(1 - q) = a_1$

Portanto: $S = \frac{a_1}{1 - q}$

Pontos Importantes para Lembrar

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Quando Usar Cada Fórmula:

P.G. Finita: Use $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ quando souber o número de termos
P.G. Infinita: Use $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q}$ apenas quando $|q| < 1$
P.G. Constante: Use $S_n = n \times a_1$ quando $q = 1$

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Cuidados Especiais:

A fórmula da P.G. finita não funciona quando q = 1
A fórmula da P.G. infinita só vale quando a razão está entre -1 e 1
Se $|q| \geq 1$ em uma P.G. infinita, a soma não converge (não tem valour finito)

Lembre-se!

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Resumo das Fórmulas Essenciais:

P.G. Finita: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ , válida para $q \neq 1$
P.G. Infinita: $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q}$ , válida apenas quando $|q| < 1$
P.G. Constante: Quando $q = 1$ , a soma é simplesmente $n \times a_1$
Condição crucial: Para P.G. infinita convergir, a razão deve estar entre -1 e 1
Sempre identifique: primeiro termo $(a_1)$ , razão $(q)$ e se a P.G. é finita ou infinita antes de aplicar a fórmula correta

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